低温状态中的中性原子哈伯德量子模拟器

　　在这项工作中，晶格电位由三个重新反射的激光束形成。两个梁重叠并匹配模式，在x方向传播，分别称为x和梁。第三光束沿y方向传播，与其他两个梁正交，被称为Y光束。如先前的作品12,57所述，X和Y梁被稳定以形成干扰晶格。从X和Y中，梁的频率大约1.6 GHz（扩展数据图1D，E）。频率偏移在反射反射镜反射后转换为π的晶格相移，将晶格转移到相对于X晶格的一半位置。这使得晶格可以对称地将每个晶格中的每个单元将每个单元分为两个位点。所有三个光束都以θ= 69.2（1）°的角度从z方向上的超抛光基材反射出来，然后再恢复为retrocreted12，从而形成了三维晶格电位。z方向的晶格电位与XY平面晶格中所有相关能量尺度大得多的诱捕频率相限制，并且在实验序列中沿Z方向的隧道毫无疑问。这允许将原子选择性地加载到Z晶格的单层后，在XY平面中近乎理想地实现了2D系统。2D晶格的潜力可以写为 　　在这里，表示存在于玻璃单元表面的菲涅尔损失，kx = ky =2πsinθ/λ是xy平面中的晶格向量，λ= 1,064 nm。由于损失，除非x和y之间的干扰时间ϕ为0或π，否则四个干扰项不能合并。请注意，由于Z方向上有限的入射角和由于玻璃单元的存在而导致的有限入射角，晶格的深度并不直接与理想重新反复的正方形晶格中的晶格深度相对应。 　　与以前的工作一样，我们通过在交叉的光学偶极子陷阱中蒸发冷却，在最低两个高精细状态下，在最低两个高精细状态下，在最低两个高精细状态下制备超电平衡平衡的费米气体。旋转平衡是通过微波混合过程58持续300毫秒实现的，从而确保了费米气体的SU（2）对称性。然后将Ultrocold 6LI原子从光学偶极陷阱加载到干扰（长间距）晶格中。干扰晶格是一个平方晶格，√2的间距大于非交流（短间距）晶格，并且使用同等强度通过主动相稳定的X和Y Beams12形成。此初始晶格加载以100毫秒的形式执行，并且加载后的最终晶格深度为vx = vy = 2.88（1）ER。在这里，ER = H2/（8MA2）= 25.49（4）kHz表示后坐力的能量，A表示晶格间距。我们将磁场设置为550 g，导致S波散射长度为84A0，并确保施加的场在晶格载荷之前沉降。在晶格载荷开始时，我们打开了由两个DMD之一形成的蓝色限制电势，我们称为DMD0和DMD1。DMD0打开60毫秒（请参阅“ BI的表征”部分），并与晶格提供的谐波约束一起控制原子的密度曲线。这重新分布了系统中的熵，创建了与稀稀储层进行热接触的BI（请参阅“ BI的表征”部分）。加载完成后，我们将在5 ms（参考文献31）中打开第二个使用DMD1预测的蓝色消失的DMD电势，该壁是墙壁，在实验的后续步骤中，它可以用作墙壁，将BI与储层分开。 　　如参考文献中所述。15，可以通过调整二聚体间和二聚体内隧道振幅之间的比率来调整从BI到具有远距离抗铁磁相关的半填充Mott绝缘子的相变。在Hubbard模型中，二聚体内隧道TD与BI极限中的带隙ΔG成正比。ΔG100kHz的大带隙允许在2 ms的情况下快速坡道，同时相对于运动能量尺度，保持绝热。最终的Y和晶格深度分别为9.29（3）ER和6.28（2）ER。这些值满足关系，确保晶格束的高斯强度曲线引起的谐波限制在大约旋转上对称。接下来，我们在15毫秒内将x的深度升至0.19（1），同时将深度提高到9.06（3）ER。这可以补偿VX的减少并维持。在此坡道期间，长距离晶格中的每个位点被分为一个二聚体，如图1D所示。在Quasimomentum空间中，这对应于降低地面带和第一个激发带之间的频带隙ΔG，同时将缝隙从地面带到几乎不变的较高频段。坡道需要比地面和第一个激发带之间的带隙ΔG慢，才能获得绝热。随着X晶格深度的降低，该差距降低。我们将坡道分成两个段，持续时间为3 ms和深度后10毫秒。较低X深度的坡道较慢有助于满足绝热的需求。 　　VX的设定点进一步降低到0.032er，并增加到其最终值为9.22（3）ER。请注意，VX低于0.1ER的系统不确定性是由于从复古反射的晶格泄漏到X晶格强度调节光电二极管上的残余泄漏。这会导致偏移量高达0.01er，并减小实际的X晶格深度。在上述坡道期间，有望发生从自旋单线到抗磁磁性顺序的相变。坡道的速度为50毫秒，这是绝热性与光学晶格加热之间的平衡。尽管存在远距离抗铁磁相关性，但由于沿X方向的不平衡 - 二聚体间和内二聚体隧道的不平衡，所得状态仍然显示出二聚自旋相关性（请参阅“隧道校准和lattice参数的校准”部分）。我们进一步将X晶格的设定点在30毫秒内降低到0.016er，这是最低的深度，使我们能够保持X和Y晶格之间的相位稳定。VX = 0.016er的深度不足以去除隧道的二聚化，因此我们进一步将相位稳定的设定值从ϕ = 0到π/2。请注意，在VX的这些低值中，相位噪声对强度噪声的贡献可以忽略不计。尽管该步骤应该消除干扰晶格59，但重新折叠的晶格束的损失（请参阅“晶格电位”部分）导致对干扰项60的抑制不完善，从而在方形晶格的A和B sublattices之间存在潜在的偏移。我们使用数值模拟来确认这种sublattice偏移不会在半填充时改变相关物理（请参阅“晶格潜在校准”部分）。 　　为了进行图4所示的实验（请参见掺杂的哈伯德模型的“实验序列”部分“实验序列”，我们用非近代衰减剂升级了该设备（请参阅“非重生衰减剂”部分）。这使我们可以将VX降低到3.2（3）×10-5er的深度，对应于可忽略的隧道二聚体。通过此升级，我们可以避免将相位稳定设定点ϕ升级，并在二聚晶格坡道的开头触发衰减器。作为验证，我们在保持ϕ = 0的同时对衰减器进行半填充时重复实验。在这些条件下，我们获得了T/T 0.1的温度，如图2所示。这些测量值是在没有仔细优化的情况下进行的，并在12小时内获得了无需重新调整。所达到的温度与在没有衰减的情况下获得的相似数据的持续时间而没有重新调整的温度是一致的。因此，与图3中所示的数据相比，我们将温度略有升高归因于晶格漂移（请参阅“对齐的效果”部分）。 　　在短间距的正方形晶格中，没有补偿高斯强度信封所施加的谐波限制。结果，最终密度曲线不平坦，除了半径r = 5区域附近的晶格中心附近，半填充。如果将初始BI中的所有原子保存在DMD0限制电势内，则谐波限制将增加化学势μ。根据DQMC模拟在Hubbard相互作用的DQMC模拟中，在这项工作的大部分部分中研究了u/t 8，|μ|> t将导致不可忽略的掺杂δ> 1％。因此，谐波限制可以将粒子掺杂剂引入系统。如果DMD0电势具有任意良好的空间分辨率，允许无限锐利的壁，那么只要DMD0电位VD保持小于频带隙和VD U，则系统将具有明确定义的开放边界。但是，DMD0电势的分辨率受显微镜物镜的数值孔径（Na = 0.7）的限制，而用于创建DMD电位的650 nm的波长则受到限制。位于DMD0电势的有限斜率上的过量原子将进一步增加中央系统的化学电位μ，这是DMD0电位强度的函数，从而导致额外的颗粒掺杂。这种兴奋剂会导致在强大的哈伯德相互作用下通过系统充电，我们怀疑这会导致大量加热。为了最大程度地减少电荷传输和加热，如主文本中所述，DMD0的潜在强度扫描并优化了每个坡道。我们发现，当将DMD0电势设置为在晶格中心保持μ0时，最低温度就会实现，因此在整个坡道中，在此位置不会发生运输。接近DMD0电势的边界， 局部化学势下降会导致过量原子流出中部区域并形成次级储层。这对于通过实现二次熵再分配步骤来降低最终温度可能是有益的。我们开始将磁场升至其最终值620 g之后，大多数形成了二聚晶格，其中密度分布与短间距方晶格的密度分布相匹配。我们发现这对于达到低温很重要，我们将其归因于大u/t的交通诱导的加热以及密度谱的相互作用驱动的变化。 　　所有数据集的隧道振幅总结在扩展数据表1中。一旦晶格和DMD0坡道完成，我们立即将晶格电位放到50μs以内的晶格电位，以在成像之前冻结动力学。我们确认，这种淬火比Doublon -hole动力学快，并且比频带激发速度更慢。一旦淬火时间慢于100μs，由于虚拟dublon孔 - 孔激发的组合，探测的单龙的密度开始增加，并且一旦淬火时间比20μs更快，由于对较高的频段的兴奋，因此开始降低。 　　“半填充数据的实验序列”中描述的运输仅仅是由于电势的不完美，包括有限的光学分辨率和谐波限制。在长距离晶格中自然地将BI在较短的晶格中以μ0的速度固定。要达到最终状态。要达到最终状态，具有有限的掺杂，需要在整个系统中对原子密度的相干重新分布，这在原子传输过程中构成了抑制加热的更多挑战。 　　分离BI后，我们首先将晶格深度降低至VX = Vy = 0.50（1）在30 ms中，这会增加动能尺度并进一步降低相互作用强度，然后再分成费米液体。该深度对应于原始晶格深度的20％，并选择以最大化最低带的隧道能量，以增强绝热性并减少晶格引起的加热，同时仍保持小于DMD0电位的高度。后一个约束很重要，因为否则原子将具有足够的动能来摆脱狭窄的潜力，从而导致不受控制的运输。另一个启发式直觉是保持有限的带隙，以使分裂前后的费米表面大致匹配。在非相互作用的极限中，原子的准膜在均匀的晶格中保守，并且在准植物空间中占用的占用变形导致原子对激发态的绝化转移。在一个理想的紧密结合模型中，只有最近的邻居隧道，长距离晶格的完整第一个布里渊区与短间距晶格的半填充第一个brillouin区的费米表面相匹配（图4C）。分裂之前和之后被占用状态之间的近似匹配可能会最大程度地减少费米表面的变形，从而最大程度地减少上面的加热过程。有限的带隙还抑制了绝型式激发，将其抑制为更高的波段。在分裂之前，晶格深度减小会削弱z方向上的限制，可能导致z方向的隧道。为了避免这种情况，我们打开垂直晶格，以允许系统始终为2D。 　　与半填充时，莫特绝缘状态在潜在的变化方面具有鲁棒性，掺杂的哈伯德系统对潜在的偏移很容易且敏感。因此，我们用非股份衰减器升级了晶格，该衰减器使我们几乎可以完全关闭X晶格，同时在ϕ = 0处保持X和Y晶格之间的相位稳定（请参阅“非近地衰减器”部分）。干扰相位的ϕ = 0的设定值确保没有潜在的偏移，因此在A和B sublattices之间没有密度偏移。我们在30毫秒内升至0.50（1）ER，然后将X至3.2（3）×10-5er升至3.2（3）×10-5er。由于其低值，X深度使用功率计（PM100D和S121C）直接校准。我们在此坡道的开头触发衰减器，以保持相位稳定，同时将X升至X。在此坡道的末端，晶格的隧道二聚体可忽略不计。在此阶段，分裂序列已完成，第一个布里鲁因区域翻了一番。 　　原子云的膨胀是通过在50毫秒内降低DMD0电位的，并伴随着磁场的坡道从550 g到590 g。选择了此扩展时间以允许磁场沉降。降低DMD0电势使原子可以从狭窄电势中流出，形成由DMD1壁限制的稀释二级储层。选择DMD0电位以将中心密度调整为最终状态的所需值，这将在晶格重新加载过程中最小化运输。由于膨胀对应于减少费米动量，因此有必要变化。结果，由于较高的磁场而增加的散射长度可能会促进膨胀过程中的热化。 　　制备的状态是平衡中弱相互作用的费米气体，该气体类似于用于在以前的工作中加载晶格的状态11，但温度低得多。然后，我们通过将晶格和Y晶格深度升至到达非交通状态。在这里，晶格深度比半填充协议中的晶格深度深，以使我们能够在590 g的较低磁场上达到u/t 8的相互作用强度（请参阅“晶格深度和磁场的选择”部分（请参阅“晶格的选择”部分），以维持原子密度的特征，以保持较大的dmd0 dmd0 dmd0 dmdd dmdd dmd的速度，以最大程度地减少u/t的运输量。上述坡道期间的深度。晶格重新加载后，我们在成像之前将动力学冻结在50μs之内。 　　我们在650 nm处使用不连贯的光源来照亮DMD，该DMD的蓝色对D1和D2的跃迁，并形成了令人反感的潜力。对于半填充时的实验，由DMD0产生的火山状电势由抛物面型组成，该抛物面是为了补偿晶格束11,31所施加的谐波限制和一个圆形的中央切口区域，以及我们将其称为小火山口的圆形中央切口区域（Extended数据图1）。DMD0上从抛物面到火山口的过渡（在1像素内）的过渡，这是由于成像系统的有限分辨率引起的电势。 　　为了允许掺杂系统的扩展，我们通过在火山电势的最大幅度上施加截止（扩展数据图1G）来创建扁平的火山势（请参见“分裂后的绝热性”部分）。这形成了围绕火山口周围的平坦环形区域。如“ BI的表征”部分所述，扁平的火山电势可能导致BI忠诚度较差，而不是没有扁平化。我们选择与最大的扁平区域合作，我们无法检测到BI忠诚度的降低。 　　如“掺杂数据的实验序列”部分所述，即使ϕ = 0，X晶格的强度也需要降低到半填充情况下的强度，以避免避免进行sublattice偏移。这是具有挑战性的，因为大多数光学衰减器的相互性质，包括声学调节器或ND滤波器，它们在正向方向（朝着原子）和反向方向（在逆转反射上，返回到检测光电二极管）上均朝向前方（朝向原子）作用。因此，X晶格束的50 dB衰减导致相位稳定光电二极管对激光强度的100 dB衰减，从而大大降低了增益和信噪比，因此无法进行有效稳定。我们通过引入非重新衰减器60来解决这个问题，该衰减仪60将变量和衰减水平不同地应用于正向和反向梁。这使我们能够将X晶格深度降低五个数量级，同时保持干扰阶段积极稳定。在这些条件下，我们没有检测到隧道二聚化或潜在偏移（请参阅“实验验证”部分）。 　　我们发现实验中不稳定的主要来源是晶格位置的漂移（尤其是晶格相对于X晶格的漂移）。这会导致晶格谐波限制的漂移和云原子密度位置的相应变化。晶格位置受实验室温度和湿度波动的影响，并且保持稳定约0.5 h，这是连续扫描的典型持续时间。我们观察到在较长的时间尺度上的晶格位置漂移，这可能会导致晶格坡道期间过量的运输导致加热。从经验上讲，我们发现由于晶格填充时晶格漂移而导致的加热影响最强。 　　对于图4中显示的掺杂数据，我们平均在陷阱中心的ROI平均具有不同的半径，其中谐波约束的效果被最小化。但是，晶格漂移相对于DMD0电位的原子分布移动，这引入了ROI内的潜在梯度。因此，对于图1和图2中的数据。3和4，我们通过将后耦合到晶格光纤中的光最大化，将晶格束位置重新计入大约每1小时。 　　通过用于投射它们的高NA物镜的放大，DMD电势沿X和Y方向的漂移强烈抑制。我们发现，沿z方向的焦点漂移发生在几周的过程中，这很方便纠正。 　　超声效应原子的哈密顿量在光学晶格中移动和相互作用自然实现了哈伯德模型，其校正以超过最新的纽布隧道，密度辅助的隧道，异地相互作用和更高的频带影响61。从实验的角度来看，浅晶格是优选的，因为在u/t的固定目标值下，较大的隧道能量使所有能量尺度都更高。较浅的晶格也降低了谐波限制，加上增加的隧穿能，导致更均匀的密度分布。但是，一旦晶格过于浅，较长的隧道就会显着增长，并且带隙会减小。这些效果导致偏离Hubbard Hamiltonian以及紧密结合和单带近似的崩溃。随着晶格深度的增加，频带隙的增加，灰烬功能更加局部，散射长度较小，以实现相同的u/t值所需的范围，并且与最接近的与现场相互作用相比，上述校正被指数抑制。从理论上讲，与现场的相互作用相比，与最接近的相互作用相比，从当时的角度来看，并且在当前的型号上进行了跨越的型号，并且在跨越的型号上进行了跨越的型号。需要采取方式。In the non-interfering (short-spacing) lattice, in the half-filled case with , which yields a radial band gap of Δxy,g  83 kHz and a vertical band gap Δz,g  42 kHz, we find the next-nearest-neighbour d = (2, 0), (0, 2) tunnelling to be t″  0.042t.在带有掺杂的情况下，它产生了Δxy的径向带隙，G 93 kHz和垂直带隙ΔZ，g 47 kHz，我们发现下一个最新的纽布尔隧道为t''0.029t。请注意，径向晶格在X和Y方向上几乎可以分离，从而导致沿X或Y以外的方向消失。因此，对于这项工作的实验参数，单频段， 2D和紧密结合的近似值非常满足。请注意，此处提供的晶格深度考虑了菲涅尔的损失和设备中的极化角度。因此，引用的深度高于具有相同频带特性的理想重新反射正方形晶格的深度。 　　在实践中，我们发现可用的最大S波散射长度可以实现目标Hubbard参数u/t设置了隧道幅度幅度的限制。这是因为较浅的晶格产生了更大的隧道和较小的Wannier功能积分，这需要增加以实现目标的U/T。在Feshbach共振的附近，Fermion三体重组率的通用尺度为（参考文献62）。增加S波散射长度最终会导致过度的三体损失，从而加热。我们发现，如果将原子保存在大约10ER的晶格中，则适用于半填充数据，因为在620 g时= 512A0是最高的散射长度，不会导致明显的过量加热。为了实现u/t = 8，我们将晶格深度设置为9.2er。为了获得掺杂的数据，将晶格升至0.5er以进行膨胀。在这里，缺乏针对晶格的三体重组的保护，导致在620 g磁场处有明显的加热。因此，我们选择在590 g时以AS = 294.5A0工作，并在重新加载到11ER后将最终的晶格深度设置。晶格参数的详细信息在扩展数据表1中列出。 　　如参考文献中所述，我们在短间距的正方形晶格中执行位置分辨的荧光成像。63。正确确定晶格部位的占用的保真度为FI = 99.4（6）％。 　　长距离晶格中的成像与短间距晶格的成像不同，并在参考文献中进行了描述。12。为了用平均投影对BI进行成像，我们使用射频合成器将频率与X之间的频率不齐定至850 MHz，从而确保与X -Y和成像晶格的重叠良好。尽管成像晶格包含的位点是物理晶格的两倍，但这允许物理和成像晶格之间的确定性原子转移。如参考文献中所述。60，双元通过在543 g处通过狭窄的Feshbach共振横跨分子，并因光辅助碰撞而丢失。我们报告了一个组合成像的保真度，包括检测保真度和物理成像转移保真度为99％（参考文献57）。 　　参考文献中描述了在长距离和二聚体晶格中具有全电荷分辨率的成像。57。二聚体晶格已绝热连接到地面带和第一个激发带闭合之间的差距之前的长距离晶格。我们将相对X的频率设置为1,552 MHz，该频率将晶格的潜在最小值的位置设置为相对于由X+Y形成的长间距晶格的每个单位单元，并在由X+Y形成的长距离晶格中对称。长距离和二聚体晶格中的每个位点对称分为两个，在两个最小值之间的电位偏移微不足道。此外，我们将磁场升至610 g，以产生双重占用位点上原子之间的强烈现场相互作用。这有助于在长距离和二聚体晶格中偶然占用的地点的绝热转移，向晶格中的单一占领地点。我们发现Doublon检测保真度是图像重建后的98％。 　　在图2中。2（不包括图2b），3和4，在以原子云上为中心的圆形ROI内的所有位点上，在空间上平均两点自旋相关函数。由于晶格束和DMD施加的限制电势，原子密度远离中心。较大的潜在梯度将增强有效的甲基交互作用J< U and suppress magnetic interactions with a kinetic origin57. We, therefore, chose an ROI radius of r = 6 sites in Fig. 2, r = 5 sites in Fig. 3, and r = 3, 4 and 5 sites in Fig. 4, to limit the potential variation. This limits the variation of the radially averaged singlon density to about 2% within the ROI. The correlation maps for r = 4 and 5 of the doped data are shown in Extended Data Fig. 3a,b. For large dopings, for which only short-range antiferromagnetic correlations are present, the sign-corrected, radially averaged spin correlations may become negative at certain long bond distances. This could be induced by harmonic confinement or residual disorder of the lattice potentials and will be explored in future works. 　　In bipartite dimerized lattices (Fig. 2), we separately average the spin correlation function over reference sites belonging to one of the two sublattices and for all bond vectors d. Assuming inversion symmetry, we obtain and plot the sublattice-averaged spin correlation function . All error bars indicate the 1σ confidence interval obtained using bootstrap sampling across all experimental snapshots of a given dataset with 500 randomly selected samples. The number of experimental realizations for each dataset is reported in Extended Data Table 1. 　　To convert the experimentally measured singlon density to doping δ in Fig. 4, we first correct for imaging fidelity to extract . We then use the doublon density nd as a function of density n obtained from CP-AFQMC simulations at T/t = 0 to reconstruct the doublon density as a function of singlon density nd(ns) = nd(n − 2nd). Finally, we compute the density and doping of the experimental data. 　　In Extended Data Fig. 4b, we plot the temperature dependence of the doublon density up to n = 0.85. Similar to half-filling, the temperature dependence is negligible compared with the statistical errors in our detected densities for T/t < 0.15. Although in these CP-AFQMC calculations, the nd results are not as accurate at higher densities of n  (0.85, 1), interpolating between n = 0.85 and half-filling suggests that the temperature dependence of the doublon density is still negligible for T/t < 0.15. This is supported by the fact that the energy scale associated with doublons is the interaction strength of U  t  T. Therefore, using the ground-state doublon density leads to negligible systematic errors in the reported quantities. 　　To better understand the discrepancy between the experimental measurements of beyond-nearest-neighbour spin correlations in the presence of doping and CP-AFQMC simulations in Fig. 4, we explore a few possible sources of similar deviations. 　　As described in section ‘Calibration of Hubbard interaction U’, we calibrate U/t using the singlon density at half-filling, where ns reaches its maximum. We also compare experimentally measured spin correlations as a function of the measured singlon density ns to T = 0 data from CP-AFQMC. The singlon density is directly measured in the experiment and does not involve converting ns to doping using numerical data. We confirmed that a miscalibration of U/t seems insufficient to explain the observed discrepancy. However, higher-order corrections to the experimental Hamiltonian, including density-dependent terms, may lead to systematic deviations at finite doping from the calibration performed at half-filling. A complete comparison between experimental and numerical data requires a comprehensive characterization of the experimental Hamiltonian and the development of calibration techniques that directly probe the doped regimes. 　　The constrained-path approximation used in the numerical simulations may also introduce systematic errors. To explore this possibility, we compare experimental and CP-AFQMC data at elevated temperatures with numerically exact DQMC simulations. When simulating the doped Hubbard model, the sign problem in DQMC leads to an exponential overhead with decreasing temperature. Given accessible computational resources, we first perform DQMC at T/t = 0.25 and U/t = 8 in an 8 × 8 system and compare the results to those obtained with CP-AFQMC with the same parameters but in a 12 × 12 system (Fig. 4). Both the DQMC and CP-AFQMC simulations use periodic boundary condition (PBC). For these DQMC simulations, we used the QUEST package64 with a time step of δτ = 0.02, 5,000 thermalization sweeps and 200,000 measurement sweeps, which are repeated with random seeds for up to 4,000 runs for values of the density with severe sign problems. The experimental data are obtained with U/t = 8.2(2) and using the standard loading sequence (without engineering the DMD potential) in refs. 12,63. The harmonic confinement due to the lattice intensity profile leads to a slow variation of the filling from the centre to the edge of the trap. We tune the atom number such that it reaches half-filling at the centre of a region of radius r = 6. This allows us to perform accurate thermometry of the entire atom cloud by comparing with numerically exact simulation results at half-filling without the need for numerical results in the doped regime. At larger distances from the trap centre of r >6，填充缓慢减少。径向汇总数据使我们能够探测自旋相关性，这是单次密度变化的函数，因此在校准的温度下掺杂。 　　我们专注于在扩展数据中的短范围自旋相关性图5a，b。鉴于在此升高的温度和有限掺杂时的相关长度短，有限尺寸的效果预计可以忽略不计。在n = 0.995的密度和μ/t = -1.0的化学电位下，预计相关长度将比较大的掺杂时长，我们发现DQMC和CP-AFQMC模拟符合所有短距离相关性。此外，在T/T = 0.33时，我们确认在8×8和12×12晶格中进行的DQMC模拟之间没有差异。 　　我们发现，对于我们执行的测量或模拟的所有掺杂值，实验数据，DQMC和CP-AFQMC之间的实验数据，DQMC和CP-AFQMC之间的良好一致性符合。但是，对于δ[5％，10％]和键距离的掺杂范围，从DQMC获得的结果表明相关性更强，实验数据显示出良好的一致性（扩展数据图5A）。这种趋势与图4所示的行为一致。DQMC数据中的大统计误差栏使得难以得出确定的结论，尤其是因为估计的误差本身是不可靠的，因为平均符号消失了。 　　在T/T = 0.33的较高温度下，符号问题不太严重，我们可以比较12×12系统中的DQMC和CP-AFQMC。我们发现，从DQMC计算出的自旋相关性的较小但相似的差异比CP-AFQMC掺杂15％以下（扩展数据图5B）。由于自旋相关性的幅度降低，在此温度下执行的实验数据似乎在统计学上与两个数值模拟一致。未来的工作应该能够通过使用更好的试验密度矩阵或在CP-AFQMC和更多系统研究中的自洽约束形式来解决这一问题。 　　为了测量晶格捕获电位，我们测量了加载到晶格中的非相互作用自旋的费米气体的密度曲线，并通过采取局部密度近似，颠倒状态的非相互作用方程，以获得局部化学势。自旋极化的费米气体是通过在321 g下用状态1和2进行蒸发冷却来制备的，然后在27 g时在状态1处进行磁梯度辅助溢出，其中状态2在磁性上不敏感，因此仍然被困。保利（Pauli）在自旋偏振的费米气体中排除，可阻止双重占用率（以及成像过程中相关的均衡投影），这意味着可以明确地将测得的密度映射到化学电位的特定值。上述校准过程中的不确定性由统计误差主导，并不强烈取决于费米气体的假定温度。我们根据自旋极化的费米气体的独立校准对T/T = 0.5进行保守估计，但是当假设温度在T/T范围内[0，1]时，结果并没有显着变化。 　　使用上述步骤，将掺杂数据的谐波限制（图4）测量为VH = 0.0152（6）T/（Site）2R2，其中R表示从晶格中心测量的位点测量的径向距离。 　　在添加非重生衰减剂之前，在U/T = 8.3（2）处的半填充数据（图3）。因此，存在A和B sublattices之间的偏移。使用上述过程，我们发现A和B sublattices中平均局部电势的差异为Δμ= 0.75（3）t。鉴于晶格的几何形状，这与0.8（4）T的预期偏移非常吻合。预期偏移的不确定性主要是由于在非常低的值下施加的X晶格深度的不确定性。 　　为了研究sublattice偏移对自旋相关性的影响，我们对8×8系统进行T/T = 0.15、0.3的DQMC模拟，在12×12系统上以T/T = 0的CP-AFQMC模拟进行。T/T≥0.15时的DQMC模拟表明，偏移量高达Δμ= 2T（定义为平均μ= 0的对称sublattice偏移）对自旋相关性几乎没有影响（扩展数据图4A）。在T/T = 0时，CP-AFQMC对Δμ= T的自旋相关性没有影响，并且Δμ= 2T的自旋相关性较小。这种减少小于实验数据中的统计误差。因此，我们得出结论，上述数据集并不关心sublattice偏移。 　　我们使用单身密度FBI = 1 -ns表征BI的忠诚度，假设一个完美的BI在每个位置都有doublon。我们可以在长距离晶格中以平等投影的形象对BI状态进行成像，其中双龙因光辅助碰撞而丢失了63（图1C，左）。另外，我们可以通过将每个长间距的位点拆分为两个，以使动力学以完全密度分辨率重建种群57（图1C，中间），直接将Doubleon群体成像两个。 　　使用密度分辨成像，我们测量Doublon密度为ND = 98.2（5）％，单元密度为ns = 1.8（5）％，并且孔密度NH与中央ROI内的零密度不一致，该中央ROI不包括粉丝的边界。ROI覆盖了一个圆形区域，半径为r = 6个位点，在长距离晶格（在短间距晶格中约为9位），这是一个比火山口半径小的位点（两个位点）。请注意，鉴于实验中Doublon检测的保真度，以上数字与统一的统一分数一致。火山口检测到的原子总数为NR = 10 = 342（1）。 　　上述测量结果证实，出现在奇偶校验图像中的空位置是双龙而不是孔。鉴于这一观察结果，奇偶校验成像对Doubleon种群具有更好的敏感性，因为它可以在荧光成像过程中免疫原子损失。双龙的奇偶校验成像中的剩余误差包括通过在成像过程中跳到不同2D层的光辅助碰撞和原子来删除双龙的保真度。目前，我们没有对这些错误进行独立的校准。因此，以下BI忠诚度的测量构成了下限。 　　使用奇偶校验的成像，我们发现大多数单一占领的位点出现在火山口的边缘。我们注意到，火山口不以位于位置分辨的方式对齐光学晶格。当与成像系统的有限分辨率结合使用时，这会导致沿着火山口边缘的位置上不完全控制的局部电势。这些站点上的状态方程可能不支持双龙。此外，在存在这种突然的潜在变化的情况下，局部密度近似可能无法保持。我们通过增加晶格深度和DMD0潜在强度来最大程度地减少边缘上的单体人群，从而使隧穿能量T与陨石坑边缘的站点对站点的电势差相比很小。我们还将磁场设置为550 g，以降低Hubbard相互作用U，从而防止形成宽的莫特高原。检测到的单龙密度为ns，r = 4 = 0.5（3）％的中央磁盘中的r = 4，ns，r = 6 = 0.7（2）％的磁盘中的r = 6。包括边缘，火山口中的单人群为nr = 10 = 11.9（7）。然而，边缘上的单锁的存在掩盖了BI中熵的估计，因为这些单龙不一定是激发。相比之下，由于沿火山口边缘的状态密度可以是有限的，因此这些单龙队可以容纳大量的熵。考虑到这一点，我们选择定义BI Fidelity fbi = 1 -ns，中央区域中的r = 6，r = 6作为优点以优化熵再分配过程的功绩。 　　为了优化BI的初始载荷，DMD0电势坡道被分为线性坡道和一个保持阶段。一旦晶格深度高并且隧道能量相应地小，原子可能不会重新分布DMD0电位的持续变化（即坡道不是绝热的）。我们还限制了初始坡道速率，以避免在浅晶格中产生频带激发。 　　火山形的DMD0电势允许在晶格浅时与储层热接触的BI形成，并在晶格深处时分离。当使用扁平的火山电势时，我们发现系统和储层之间的分离质量是否会恶化，如果火山口周围的高原变得太大，因为某些原子可能保留在该地区，没有潜在的梯度。 　　由于状态的消失密度，BI中的加热过程被严重抑制，并且唯一的主动过程必须激发原子进入更高的频段。相关的加热机制包括光学晶格的不连贯的光散射，光学晶格的强度和位置噪声以及背景气体碰撞。为了量化损失，我们将BI保持在最高1,600毫秒的可变持续时间内，并使用平等预测的成像和全电荷分解成像来测量总密度N，作为BI Fidelity的探测。在奇偶校验的成像中，我们测量了长距离晶格中的缺陷单加密度。在全电荷分辨成像中，我们在将双龙分解为短间距晶格中后的密度。我们发现，晶格中心中的密度损失率为DNR = 6/dt = 5.1（3）％s-1使用全电荷分解成像，而DNR = 6/dt = 4.8（4）％s-1使用Parity-Projected Imaging，假设Singlon的检测对应于单个粒子的丢失，则使用Parity-Projected成像。从电荷分辨成像中提取的零时间截距为n = 1.983（3）。奇偶校验成像的截距为n = 0.008（4），这与直接测得的单元密度一致。均衡项目测量和电荷分辨测量之间的差异与成像保真度所施加的局限性一致。考虑到100毫秒的加载时间，上述损耗率与FBI的BI Fidelity一致，r = 6 = 99.3（2）％。 　　由于光辅助碰撞，在短间距晶格中，我们只能执行均衡项目的密度成像，因此可以检测到单一占用位点的密度（参考文献63）。我们通过成像保真度校正了检测到的单龙的密度，以估计实际的单龙密度NS。在半填充（图2和3）时，单次密度是相互作用和温度的函数：NS（U，T）。我们依靠使用DQMC的数值模拟获得Doubleon密度ND（U，T），并将单元密度计算为NS（U，T）= 1-2nd（U，T）。我们发现nd（u，t）对相互作用强度敏感，但对温度的依赖性较弱。< T/t ≤ 0.25 and saturates for T/t ≤ 0.15 (Extended Data Fig. 4c). Using both the singlon density and spin correlations , we estimate the possible ranges for interaction and temperature as 8 < U/t < 9 and T/t ≤ 0.15. The fact that nd is insensitive to temperature, and therefore effectively becomes a function of only interaction, allows us to invert this equation of state to calibrate U/t using only the measured singlon density ns. With U/t calibrated, we can then estimate the temperature using spin correlations (see section ‘Calibration of temperature T at half-filling’). 　　To obtain the doped data shown in Fig. 4, the lattice depths and magnetic fields are slightly different from the ones used to obtain the half-filling data shown in Fig. 3 (see section ‘Experimental methods’). Therefore, interaction strength U/t needs to be recalibrated for the doped systems. We adjust the amount of expansion to prepare a sample with half-filling n = 1 in the centre, which can be identified as the maximum of singlon density ns as filling n is increased. We then apply the same calibration protocol described above to this half-filled state to obtain the Hubbard interaction U/t given by the lattice and scattering length parameters used for the doped systems. 　　There is no available numerical simulation for the large U/t Hubbard model at low temperatures, so a different approach is required to calibrate the interaction strength U/t for the data taken in the Heisenberg limit. We first perform measurements at 580 G in the same lattice configuration as the final data, and with T/t ≤ 0.15 such that the temperature dependence of the singlon density is negligible. The resulting measured value of the singlon density is ns(580 G) = 0.898(7), corresponding to U/t = 8.3(4). Next, using as(620 G)/as(380 G) = 312/233 ≈ 2.18, we obtain U/t = 18.6(8). If we ignore the temperature dependence of the singlon density and compare with numerical linked cluster expansion data at T/t = 0.2 (ref. 65), our measured singlon density of ns(620 G) = 0.976(3) gives 19.4(1.7), which is consistent with the above measurement. 　　To convert singlon density ns to density n, we rely on numerical simulations using CP-AFQMC to obtain the doublon density nd(n, U, T) as a function of density, interaction strength and temperature. From this, we can compute the singlon density ns(n, U, T) = n − 2nd(n, U, T). Similar to half-filling, the variation of doublon density reduces with temperature T and becomes negligible for T/t ≤ 0.15 (Extended Data Fig. 4b). 　　We plot the experimentally measured spin correlations as a function of singlon density ns together with numerically simulated spin correlations as a function of computed singlon density ns(n, U, T) in Extended Data Fig. 3f. CP-AFQMC simulation data of nd is not shown in the density range 0.85 < n < 1 because of poor convergence. Based on comparisons of the nearest-neighbour spin correlations, the data are consistent with temperatures of T/t ≤ 0.15 for all values of the doping for which CP-AFQMC is performed. 　　Taken in combination, the above observations allow us to invert the equation of state and estimate the doping δ = 1 − n(ns, U, 0) using numerical simulations performed at T/t = 0, which have been studied systematically in previous works17. 　　For the half-filled data taken at U/t = 8.3(2), good agreement between experimental and numerical data (Fig. 3) allows us to measure temperature using a physically motivated observable that aggregates information from spin correlations beyond nearest neighbours. Specifically, we consider the staggered magnetization mz, which is defined as a sign-corrected average of the spin correlation function up to a cutoff d in bond distance: 　　We estimate the value of , as well as the 1σ error in this estimate, from bootstrapping, and compute the expected value of as a function of temperature using the DQMC. 　　We check the effect of boundary conditions by obtaining DQMC numerical data on 12 × 12 and 16 × 16 square systems with open boundary conditions and PBCs (Extended Data Fig. 7a). PBCs tend to overestimate spin correlations at long range, whereas the difference between 12 × 12 and 16 × 16 data is not substantial for d ≤ 6. This motivates our choice of performing subsequent calculations using open boundary conditions and a 12 × 12 system. 　　Spin correlations are computed at U/t = 8 and U/t = 9 (Extended Data Fig. 7b), converted into magnetization and interpolated to produce a continuous function of temperature and interaction strength (using cubic splines along T and linear functions along U). At a fixed value of U based on experimental calibrations, we convert our knowledge of the true experimental magnetization, which we model as a Gaussian random variable , into temperature by computing the probability distribution function of , where g is the inverse of the interpolated numerical data, if mz ≤ fU(0), and g(mz) = 0 if mz >fu（0）。我们报告温度分布的平均值和±1σ置信区间。 　　实验和数值磁化及其相关的温度估计在扩展数据中显示了图7C，d。在实验校准的u/t = 8.3的实验校准值下，将键的截止量从d = 3增加到d = 6（扩展数据图7a，垂直虚线）不会改变t = 0.05的推断平均温度。这表明在所有范围内数值和实验数据之间有很好的一致性，并确认了校准的相互作用强度（扩展数据图7C）。在键距离上截止d = 3的情况下，在下面的数值数据仅弱取决于边界条件（扩展数据图7a），在报告的不确定性上，T/T的推断平均值在交互强度U/T = 8.3±0.2中差异约为0.01，并且置信区间较弱。我们在主文本中报告了一个温度和截止d = 6获得的温度和不对称误差，而单个值得注意的数字捕获了与相互作用校准和有限大小的仿真效果相关的系统误差的总体幅度。 　　如“实验方法”部分所述，从二聚晶格升至短间距晶格的关键步骤是，通过减小X晶格深度并升高近距离晶格，通过增加晶格深度来降低长距离晶格。将干扰时间ϕ从0升至π/2可以消除隧道二聚化，但引入了A和B sublattices之间的潜在偏移。非转录衰减器允许在更大的X晶格深度范围内稳定ϕ，从而使我们能够抑制隧道二聚化，而无需引入潜在的偏移。我们使用校准的晶格深度和干扰参数12,57来计算2D晶格的频带结构。然后，可以通过构造最大局部的Wannier Orbitals66或通过与紧密结合模型拟合频带结构来计算隧道的绝对幅度（In Hz）。我们发现，这两种方法为我们的晶格几何形状提供了一致的结果（扩展数据图6a），并在扩展数据表1中报告了所得的隧道幅度。 　　隧道二聚化由晶格电位中的干扰项给出，该晶格势尺度为。定量确定二聚体内和二聚体间隧穿能量TD，Ti和垂直隧穿能量TP对VX的依赖性很重要。使用晶格深度Vy和固定，在扩展数据中显示了不同隧道能量的变化图6a。在坡道vx = 3.2（3）×10-5er的末尾，并且隧道能量在系统的不确定性中都平衡。为了获得掺杂的数据，在浅晶格条件下将X升至VX = 3.2（3）×10-5er，并在实验序列的其余部分中保持相同。 　　在强相互作用极限u/t = 18.6（8）中，对于理想有限尺寸的系统，具有尖锐的开放边界和均匀电位的理想有限尺寸系统的多体旋转间隙决定了绝热性。将基态的差距和状态塔分开为1/L2，而旋转波激发的间隙尺度为1/L，其中L是线性系统尺寸为15,48。在没有加热的情况下，坡道速度较慢会导致更全绝热的进化。 　　在实验上，随着我们将坡道持续时间从20 ms增加到80毫秒，越过了先前数值工作的临界点47，我们发现最终状态达到饱和度中的自旋相关性并且不会增加（扩展数据图6G）。我们怀疑较长的坡道持续时间会竞争绝热性。在坡道期间或之后保持较高的加热，这表现为旋转相关性的降低。我们还发现加热与磁性偏置场有关。在坡道的中间保持时，加热在620 g时要强得多，在这里我们操作以实现u/t = 18.6（8），而不是在准备BI的550 g处。这暗示着由于三体过程而引起的加热，随着散射长度的增加，它们会得到强烈增强。 　　自旋相关与增加坡道时间的饱和度在与BI形成时相同的DMD电势强度测量。我们发现，由于DMD电位较弱，20 ms坡道不再是绝热的，并且导致单次密度和自旋相关性降低（扩展数据图6G）。这表明原子正在离开火山口区域。但是，我们对这个动态过程没有完全的理解，因为磁场坡道的时间依赖性也起着重要的作用。较高的磁性偏置场导致更强的相互作用强度，这会与限制电位竞争，并可能改变运输过程的物理。 　　在半局部或海森堡自旋系统中的同质哈伯德系统中，与自旋激发的能量差距相比，绝热标准由坡道的速度确定。15。在我们的情况下，相关的坡道是隧道二聚化，由干扰阶段控制。在实验上，在u/t = 18.6（8）时，我们发现坡道时间长于5 ms，足够绝热，并且允许内和二聚体旋转相关性均衡。持续时间少于1 ms的坡道是绝世的，并导致明显的偏差。该坡道对长距离相关性没有可检测的影响，这可能是由跨量子临界点的先前坡道的速率决定的。对于更长的坡道时代，当未优化DMD0电势时，我们发现明显的加热，从而导致原子传输。因此，通过动态平衡DMD0电位，隧道能量和相互作用强度的限制，获得的最冷的温度是获得的。在u/t = 8.3（2）时，我们发现加热的问题要小得多，并且选择25 ms的坡道时间以确保绝热。对相变的系统研究以及对绝热性的要求，将需要适当地对初始BI的潜在和现场分辨制备进行适当的扁平化。 　　晶格相稳定在连续实验序列之间保持活跃，并保持干扰时间阶段。因此，光学晶格位置在荧光原子图像中的单位点水平进行跟踪。这使我们能够以粘结分解方式探测自旋相关性（请参见“数据分析”部分）。不同的y，二聚体和二聚体间的隧穿能TY，TD，Ti导致各自键上的不同superexchange相互作用，从而导致不同的自旋相关性。在图2中，我们显示了如何逐渐增加干扰时间ϕ =π/2，消除了海森伯格极限中的隧道二聚化和相关性不平衡。为了获得掺杂的数据，在坡道结束时，VX = 3.2（3）×10-5er（使用非重新落后衰减器），我们观察到y，dimer内二聚体和二聚体间自旋相关性同意统计误差内（扩展数据图6d）。密度曲线也没有显示A和B sublattices之间的偏移，即使使用ϕ = 0，也没有潜在的偏移（扩展数据图6B，C）。 　　隧道二聚化对掺杂的哈伯德系统具有惊人的影响。与半填充的情况相反，在条件下，远程相关性会被二聚化的远程相关性忽略不足，而vx = 0.016er，ϕ = 0，掺杂系统仅在二聚体内显示相关性。这表明二聚化将导致掺杂的哈伯德系统中的物理学不同，因此去除这种二聚化以观察各向同性掺杂的哈伯德模型的物理学至关重要。 　　自然而然地将绝缘状态的乐队隔开会产生半填充状态。为了获得掺杂的哈伯德系统，我们降低了DMD0电位，以便原子可以从火山口扩展。膨胀的边界是由DMD1电位形成的壁设置的。DMD0电位的形状可以强烈影响该环形区域中的扩展。我们发现，火山形的DMD0电势（扩展数据图1F）具有锋利的外向坡度（其中电位随着与中心的距离的增加而降低）优化了BI和储层之间的分离。但是，以这种潜力而绝热地扩展原子更加困难。锋利的斜率充当了将火山口和区域分离到DMD1壁电势的潜在屏障，在径向方向上形成了两个潜在的最小值。这类似于双孔系统中断裂的对称状态。最初的BI状态从真实的基态升高，双孔之间的隧道幅度给出了较小的缝隙，该孔被指数抑制，随着DMD0产生的潜在屏障强度的增加。另一种古典图片是，当原子从火山口流出时，它们会在尖锐的斜坡上加速下坡，这不是可逆的过程，因此不是绝热的过程。随着径向与中心的径向距离，碗形潜力增加，直到达到DMD1壁会增加上述问题，但会在BI制备过程中捕获更多原子，从而导致初始状态的熵增加。为了平衡这些考虑因素，我们选择了扁平的火山电位作为折衷（扩展数据图1G）。我们确认，扩展过程中的能隙类似于电势在一维中使用精确对角线化的内向斜率的情况。 　　较大的隧道和较小的U/T会导致固定膨胀持续时间更具绝热的扩张，这表明浅晶格是有利的。但是，我们发现这在晶格几乎完全熄灭的极限上并不成立。我们首先将晶格深度降低到扩展中使用的值，然后将晶格深度恢复到用于获得BI状态的晶格深处，然后将晶格深度降低到用于获得BI态的晶格深度，然后将晶格深度降低到膨胀中的值，对BI Fidelity进行了往返测量。在坡道期间产生的激发将表现为BI中的单人缺陷。当晶格深度在扩展过程中降至0.5er时，我们发现这些缺陷的数量显着增加。结果，我们选择在扩展过程中使用0.3er的晶格深度，这对应于用于加载BI的晶格深度的20％。我们认为，这种行为是因为带隙比隧道能量小，从而使绝型刺激能激发到更高的频带。在逐渐逐渐升至这些条件之后，我们开始了分裂过程，该过程将长距离晶格中的两个最低频带融合到短间距晶格中的单个频段中。 　　我们通过改变扩展步骤的持续时间来实验研究在扩展过程中的动力学。在重新加载后，我们测量了最终的自旋相关性，以达到τexp= 1 ms，15.5 ms和30 ms的膨胀时间。在这些测量值中没有观察到具有统计学意义的变化（图6E的扩展数据），这表明1 ms足以使扩张具有绝热。这与扩展过程中约10 kHz的大带宽和费米能的较大。为了进一步促进膨胀过程中的热化，为了使该场在重新加载发生之前沉降，我们在扩展步骤中将磁场从550 g升至590 g，这将散射长度从约86A0增加到295A0，并将膨胀时间设置为更长的持续时间50毫秒。 　　在图5中，我们显示了在隧道时间ħ/t的单位中固定持续时间的长距离晶格中扩展的绝热性。通过比较中央半填充区域中的D = 1和D =自旋相关与DQMC模拟来获得温度。目的是探测绝热性是相互作用强度的函数，与隧道振幅的绝对值无关。尽管由于激光强度增加和较小的隧道振幅，较深的晶格的膨胀可能导致更多的晶格加热，但在以前的工作57中，几乎没有加热，涉及在类似的晶格深度和坡道时间进行的测量，因为在图5（η= 1）中探索了最深的晶格。较浅的晶格的动能尺度增加也可能减少潜在障碍的影响，潜在障碍的影响需要将来的研究。如图3E所示，我们还测量了固定持续时间为τ= 120 ms的膨胀的绝热性，该数据对应于η= 1的18.5ħ/t。我们发现与图5a相似的加热，尽管握持时间约为四倍。这表明绝热加热和耗散加热也在类似的范围内发生。但是，根据图5b，即使在η= 1时，120 ms的温度应仅足够慢，以使温度升高约0.2T（图5中大约对应于4 ms）。这表明相互作用可能通过对绝热性提出更严格的要求在τ= 120毫秒处抑制运输作用。 　　为了检查图3中的半填充状态是否已经平衡，我们在逐渐升入最终的抗磁磁状态后添加了τh= 0 ms，10 ms和20 ms的保持时间。在此测量过程中，没有优化相对于DMD电势的晶格对准，这可能解释了较高的结果温度。我们发现，与捕获电势中心的径向距离r的函数或自旋相关性的整体曲线是键距离d的函数（扩展数据图6H），我们发现单次密度与径向距离r的函数没有变化。但是，我们观察到最近的邻近相关性的略有下降，这可能归因于保留时间的加热。这表明将BI分为半充满的系统的坡道实现了热平衡状态。 　　卸下BI后，将其分成半填充的费米液体，然后膨胀成填充n <1的费米液体，该样品的状态与以前的工作11,63相似，但在较低的熵处。我们使用100毫秒的晶格深度的线性升起来重新加载晶格，该晶格深度被选为平衡绝热性和晶格加热。此外，我们通过实验证实了最终量子状态的平衡，通过保持为τh= 0 ms，20 ms和40 ms，对应于0ħ/t，20ħ/t和40ħ/t。对于这些保留时间，未观察到统计学上的显着变化（扩展数据图6F）。 　　此外，在掺杂的系统中，我们可以通过比较在云中不同位置获得的温度估计值来对整个样品进行跨检查。如“数据分析”部分中所述，主文本中显示的温度是在云中心的ROI中以RADII r = 3、4和5获得的，仅包括ROI内的一对位点（我们称为严格的固定）。我们还可以从径向平均的自旋相关性中获得温度估计，尽管这些估计值在较大的潜在变化和不同的bin形状上平均。然而，在扩展数据图8中，我们将图4F的数据重新分析以根据测得的单元密度NS bin绘制。表示相应垃圾箱的键距离D处的测得的Zz旋转相关性。请注意，上述分析不应用严格的套筒，因此仅用于计算给定相关函数的两个站点之一必须包含在垃圾箱中。这导致与严格的封装获得的结果有系统的偏差。例如，由于涉及较低密度的位点，垃圾箱的相关性将低估为较短的垃圾桶。然而，这种分析提供了一种定性观点，即原子云在不同的密度之间得到了热量。 　　我们使用Quspin package67用精确的对角度分裂过程来计算能级的演变。对于海森堡模型（图2），我们选择一个6×5的系统大小，pbc沿较长的方向和扭曲的边界条件在短方向上。扭曲的边界条件定义为连接（i，5）→（（i + 1）％6，1）。沿Y方向的自旋交换耦合固定为j = 1，并且从10到1变化。 　　我们在半填充时进行的模拟使用有限温度的DQMC和地面AFQMC方法进行。AFQMC和DQMC是用于研究量子多体系统的数值精确配方。该方法始于猪肉的分解，该分解将原始的假想时间传播器分解为较小的碎片。为了处理现场相互作用，使用Hubbard-Stratonovich转换引入了辅助场，将相互作用运算符转换为单体操作员之和。这些步骤允许分区函数作为两个Slater决定因素的乘积（一种用于旋转电子的总和）表示，可以通过分析计算矩阵元素。但是，该产品可能同时采用正值和负值，导致符号问题（在特定情况下，例如半填充的2D排斥哈伯德模型，其中粒子 - 孔对称消除了这个问题）。 　　在我们的模拟中（图3），使用具有7,000个热扫描的DQMC方法获得有限温度的结果，200,000个测量扫描和δτ= 0.05的时间步骤。地面数据是使用AFQMC方法生成的，使用具有力偏置更新的Metropolis算法68，数千个扫描和Δτ= 0.02的时间步骤。我们验证了这些Δτ的这些值的猪棍误差小于统计误差，从而确保了结果的鲁棒性。为了减轻由Spin-Z Hubbard-Stratonovich转换中的SU（2）对称性破坏引起的自旋相关性的恐怖性问题和波动，我们采用了有限的 - 周期和地面状态计算的电荷哈伯德 - 斯特拉托诺维奇转换。此外，使用电荷分解而不是自旋分解时，自旋相关测量中的无限方差问题69显着降低。 　　对于掺杂的系统，我们使用有限温度16,70和地面71 CP-AFQMC方法分别以零和有限温度计算系统的性质。有限温度的CP-AFQMC方法共享了标准DQMC方法的几个构建块，包括使用Trotter分解和Hubbard-Stratonovich转换。但是，它引入了两个关键差异。首先，在遇到符号问题的系统中，为导致符号问题的辅助场空间中的路径提供了确切的条件70。结果表明，辅助场空间中只有一小部分路径有助于分区函数。其余路径对称分布并相互取消，从而为可观察到的计算增加了噪声。为了解决这个问题，CP-AFQMC方法施加了一个限制，充当量规条件，以隔离和采样相关路径。当多体哈密顿量在约束中使用时，这种约束是准确的。其次，为了有效地实现约束和样本配置，该算法使用具有重要性采样的分支随机步行来构建完整的路径。在实际应用中，有效的Hartree -fock Hamiltonian用作审判哈密顿量来定义约束16。对Ueff和βeff的参数进行了调整，以使有效的Hamiltonian获得的自旋相关与多体系统的旋转相关性非常匹配。 　　地面CP-AFQMC71是一种基于投影的量子蒙特卡洛方法，它利用了可以通过将假想的时间演化运算符应用于初始波函数来访问基态的原理，前提是试验波函数与地面状态具有非零重叠。与有限温度的外星人类似，地面CP-AFQMC还将猪根分解与Hubbard-Stratonovich转换结合在一起，以将假想时间的演化重新制定为随机过程，这是一个随机的过程，即穿过SLATER决定因素的空间。在此随机步行期间采样的配置上计算地面状态的统计平均值。为了解决费米符号问题，将无限制的Hartree -Fock解决方案用作试验波函数，引入了一个约束，该约束确保随机步行中的每个Slater决定因素保持与试验波函数的正重叠。文献中的广泛基准为21,23,27,28表明，CP-AFQMC具有很高的准确性，用于研究量子多体系统的地面状态和有限温度的特性。我们的地面AFQMC计算遵循与参考的类似程序。17（尽管在半填充时我们应用了电荷分解，如前所述）。在我们的模拟中（图4），在有限温度和地面计算中，猪跑的时间步骤通常为0.05和0.01，我们验证了猪肉误差是否有限。在这些计算中，随机步行者的人口约为5,000。 　　图2中的海森堡模型和图9的扩展数据的有限数值模拟是使用spinmontecarlo.jl套餐（www.juliapackages.com/p/p/spinmontecarlo），使用循环量子量量量升高的1624热量量的LOOP量子carlo algorithm，并使用1,024 humper 8,192带有PBC的细胞（512个位点）。单个自旋相关因子由具有相同键矢量的位点对分组，将属于同一sublattice的对与不sublattice区分开。这些相关器在每个测量更新中取平均值，从而导致10-3阶的相对统计误差。在扩展数据中显示了所得的相关图图9a，对于温度t/j = 0.5时耦合参数α的代表性值。我们估计，基于与32×32系统的比较，在此温度下，在平方晶格中，由于有限尺寸效应引起的系统误差最多为5×10-3。 　　通过在键距离上平均进行标志校正的自旋相关性（扩展数据图9b），在这种情况下，在截断到正方形的13×13区域（扩展数据图9A），并与实验数据分析中使用的ROI相匹配，可以获得交错的磁化MZ。我们观察到MZ在α= 0.65以上的耦合处的明显升高和温度依赖性，我们归因于在零温度下的量子相变为抗磁相位。该临界值可与以相似二聚晶格几何形式进行的地面海森堡模拟相媲美。 　　在通过平方自旋矩归一化的实验数据后，该数据集中的NS = 0.95是平均单元密度，我们观察到与键距离的数值Heisenberg数据之间的良好一致性与键距离和在u/t = 18.6（8）的方形晶格中的实验自旋相关性相比（扩展数据图9c）。相关性的最小二乘拟合到估计温度为t/j = 0.458（3）的结果。 　　单频哈伯德模型可以通过减少和近似步骤与高-TC超导粉菜有关。Cuprates的一个更现实的近似模型是三频Hubbard模型，其中隧道T和相互作用强度U可以相应地与Cuprates 2中的能量尺度相关。因此，将单频哈伯德模型中的温度与掺杂粉的有效温度相关联并不是一件直接的。 　　然而，在半填充时，在哈伯德模型3和2,19,20的Hubbard Model 3中可以很好地理解物理学，并且可以通过抗磁性海森贝格模型来描述。在此制度中，特征能量量表是交换能量J，可以在丘比特中很容易探测，并且在一频哈伯德模型中为J = 4T2/U。这种对应关系使我们能够使用T/J在半充满哈伯德模型中的温度转换为库酸盐的有效温度。在Yttrium钡氧化铜19,20和U/T = 8中取J = 125（5）MEV，T/T = 0.25的温度对应于约725 K，T/T = 0.05的温度对应于145K。